黎曼zeta函数(沉寂160年的数论难题掀起巨浪)
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2023-11-20
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1. 黎曼zeta函数,沉寂160年的数论难题掀起巨浪?
黎曼猜想是由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出的,是数论中的一个非常重要的命题。黎曼在一篇论文提出了一个素数分布规律的函数,但一直没有人能够证明它。100多年来,为了证明它,无数数学家呕心沥血,但都无法圆满达成。因此,黎曼猜想成为了“20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题”之一。也是著名的克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一,奖金高达100万美元。
图:迈克尔·阿蒂亚,数学界最高荣誉:菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主,于今年1月11日去世
最近一次尝试证明是迈克尔·阿蒂亚做出的。他在2018年9月声称证明了黎曼猜想,并在2018年9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲了这一成果。虽然新闻界一片欢呼,但看过预印本的数学家对他的成果却不以为然,有数学家声称,这个证明“甚至不能被称为一个错误”。所以,黎曼猜想依然还只是猜想。
看题主的介绍,有个叫梅晓春的人声称证伪了黎曼猜想。如果是真的,他获得菲尔兹奖没有一点问题,克雷数学研究所的一百万美元也是他的囊中之物。可惜的是,这只是一个“科妄”的表演而已。
笔者去搜索了一下,这个梅晓春是“福州原创物理研究所”的所长,这个研究所是一家民间机构。从这个研究所的名字可以看出来,这就是一个伪科学机构。物理学哪有“原创”的?都是站在前人基础上进行研究。即使是爱因斯坦的成果都是基于前人研究上的突破。没有人能够进行所谓的原创。事实上,这个人就是一个民科,或者说“科妄”更加准确一点。多个科学媒体都对他进行了批评。他所谓的论文发表的杂志也是一个不入流的刊物,属于那种给钱就发的垃圾杂志。
这种人,不要去理他!
2. 积的函数符号是什么?
在数学中,符号“∑”和“Π”分别用来表示求和与求积。
首先是函数的累积求和,n取[m, k]中的连续整数值。
∑n=mkf(n)=f(n)+f(n+1)+...+f(k)
∑n=mkf(n)=f(n)+f(n+1)+...+f(k)
这个变量n可以换成其他任意字母,比如x。我们把下面的“n=m”和上面的“k”称作这个和式的下标。在上下文明确的情况下,下标可以省略。
求和符号同样可以表示无穷级数。
∑i=1n=x1+x2+...+xn
∑i=1n=x1+x2+...+xn
∑n=1∞1n2=112+122+132+...+1n2=π26
∑n=1∞1n2=112+122+132+...+1n2=π26
求和与求积的用法是完全相同的。当下标不是连续整数时,下标也可以有不同的表达方式。
∏p∈Ap2p2−1=π26
∏p∈Ap2p2−1=π26
(A表示所有正素数构成的集合)
∑d|10,d∈N=1+2+5+10=18
∑d|10,d∈N=1+2+5+10=18
(“a|b”表示b能整除a,该和式表示所有10的正因子的和)
最后附上一些常见的求和公式。
∑i=1ni=n(n+1)2
∑i=1ni=n(n+1)2
∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6
∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6
∑i=1ni3=(n(n+1)2)2
∑i=1ni3=(n(n+1)2)2
∑i=1n(2i−1)=n2
∑i=1n(2i−1)=n2
∑i=0nxi=xn+1−1x−1
3. 世界上最难的函数题?
ζ(s)=1+1/2S+1/3S+1/4S+…被称为黎曼Zeta函数。黎曼猜想认为所有素数都可以表示为一个函数。
ζ(s)=0位于一条垂直直线上
这些是检查自前10000000000000(1×10^13)个解决方案的结果,证明它会带来许多围绕素数分布的奥秘。但这个问题至今未获得解
决。
4. n的四次方分之一求和?
我们需要知道要求哪个区间的 n 的四次方分之一的和。这里给两个常见的区间。
求 $n$ 的四次方分之一在 $1$ 到 $m$ 范围内的和,即:
$$\sum_{n=1}^m \sqrt[4]{n}$$
这个式子比较难直接求和,但是可以用积分近似计算。将 $n$ 的四次方分之一看做函数 $f(x) = x^{1/4}$,则有:
$$\int_0^m f(x) dx \leq \sum_{n=1}^m \sqrt[4]{n} \leq \int_1^{m+1} f(x) dx$$
即:
$$\frac{4}{5}(m^{5/4} - 1) \leq \sum_{n=1}^m \sqrt[4]{n} \leq \frac{4}{5}((m+1)^{5/4} - 1)$$
求 $n$ 的四次方分之一在 $m$ 到 $k$ 范围内的和,即:
$$\sum_{n=m}^k \sqrt[4]{n}$$
这个式子同样比较难直接求和,但是可以化简为一个积分。将 $n$ 的四次方分之一看做函数 $f(x) = x^{1/4}$,则有:
$$ \begin{aligned} \sum_{n=m}^k \sqrt[4]{n} &= \sum_{n=1}^k \sqrt[4]{n} - \sum_{n=1}^{m-1} \sqrt[4]{n} \ &= \int_0^k f(x) dx - \int_0^{m-1} f(x) dx \ &= \int_{m-1}^k f(x) dx \ &= \frac{4}{5}(k^{5/4} - (m-1)^{5/4}) \end{aligned} $$
其中,$m$ 和 $k$ 是正整数,且 $m \leq k$。
5. 祖籍山东菏泽的院士?
张继平,男,生于1958年7月,山东省菏泽市成武县人。北京大学数学科学学院教授、中国科学院院士。现任北京国际数学研究中心副主任、数学及其应用教育部重点实验室主任、北京数学会理事长。主要从事代数学研究。
在80年代早期对有限单群分类中心有突出贡献,且在世界上第一个给出了亏零P-块的充要条件。随后在当代模表示论的研究中作出多项重要贡献,对著名Puig猜想的研究为该理论的进一步发展开辟了道路,创立和系统发展了群的算术理论,进而解决了Huppert猜想和共轭类长猜想等长期未解决的难题,并在Zeta-函数和黎曼流形上的Laplace-Beltrami算子等研究领域得到应用。把代数K-理论应用到模表示论的研究中。2020年11月24日,当选“全国先进工作者”。
6. 质数是否存在规律?
质数是只有1和它本身两个约数的数字。比如5就是质数,因为5只有1和5两个约数,而4就不是质数,因为4的约数除了1和4,还有2,这样的数字称为合数。
数学中有一个专门的分支:数论,专门研究最简单的数字——自然数的性质。在数论中,质数是最引人入胜的风景, 有许许多多关于质数的猜想,例如以前介绍过的哥德巴赫猜想、费马数猜想等等,有些经过了数百年的时间才被人证明,有些直到现在还没有被证明。正因为质数如此迷人和复杂,目前人们还没有完全掌握质数的规律,所以人们才把质数作为密码学的基础。
那么,质数到底有多少个呢?它的分布有什么规律吗?人们对质数的研究已经有了哪些成果呢?
质数有多少个?我们很容易通过计算写出前几个质数,它们是:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…
那么,如果我们就这样写下去,能够把质数都写穷尽吗?如果质数可以穷尽,那么关于质数的许多猜想就变得容易了许多。遗憾的是,在古希腊时代,人们就已经认识到质数有无穷多个了,这要归功于数学家、几何学的创立者欧几里得。
欧几里得通过反证法证明了质数有无穷多个。所谓反证法,就是假设一个命题不成立,再通过演绎的方法推理出两个相互矛盾的结论,从而证明该命题。欧几里得的思路是:
假设质数的个数是有限个,分别是2、3、5、7、….、p,其中p是最大的质数,那么可以令数字q等于所有质数的乘积与1的和,即
这个数字q是质数还是合数呢?
(1)如果这个数字q是质数,那么q是一个比p大的质数,与p是最大的质数矛盾,所以q不是质数。
(2)如果这个数字q是合数,那么它必然有除了1和它本身以外其他的约数,或者说它可以进行质因数分解,也就是把它写作一堆质数的乘积:
这里的m都是质数,叫做q的质因子。由于所有的质数都被我们找到了,因此每一个m只能在2、3、5、7、…、p中取值。
可是,根据q的计算方法可知:
也就是说q-1是2、3、5、7、…、p这些质数的整数倍,q除以2、3、5、7、…、p中的任何一个数字都会有余数1,因此q不可能有任何一个质数因子,这与q是合数矛盾,q不可能是合数。
所以,q既不是质数也不是合数,二者发生了矛盾。矛盾的起源在于我们假设质数是有限个,所以质数不可能是有限个,质数有无穷多个,真是一个漂亮的证法!
如何寻找质数?虽然质数有无穷多个,但是人们依然希望知道如何快速判断一个数是质数还是合数。古希腊的埃拉托色尼(我们之前谈到过,就是那个测量出地球半径的人)给出了一种制作质数表的方法:筛选法。
他的思路是:要找到一个小于某自然数n的全部质数,只需要按照下面的方式:
1. 找到这个数字的平方根m=√m
2. 找到不大于m的所有质数。
3. 在一张自然数表上划掉所有质数的整数倍(质数本身不划掉)
4. 把1划掉。
5. 没有划掉的数字就是质数。
例如,我们要找到100以内的所有质数,只需要按照下面的步骤进行:
1. 计算100的平方根,是10。
2. 10以内的质数有2、3、5、7
3. 划掉2、3、5、7的整数倍。首先划掉2的倍数,如4、6、8…、98、100,然后划掉3的倍数,如6、9、12、15、…、99, 重复的就不需要再划掉了。然后划掉5的倍数,7的倍数。
4. 最后划掉1。
5. 表中余下的数字就是质数。
这个方法的依据是:如果一个数字是合数,那么它最小的质因子不会超过它的平方根。对于这个问题的证明我们依然可以使用反证法:如果所有质因子都大于它的平方根,两个质因子相乘就会比它大了。
质数分布有规律吗?人们虽然可以通过这种方法获得质数表,但是数字一旦大起来,判断是不是质数就非常困难,人们只能使用已知的质数因子一个个去除,去尝试。例如费马数
它有一个1187位的因子,还没有判断出来是不是质数。
长久以来,人们一直希望发现质数的分布规律,最好能通过一个公式算出质数,或者能通过前面的质数计算出后一个质数。
第一个获得突破的人是瑞士数学家欧拉。
欧拉在研究级数求和的问题中,得到了一个著名的公式:欧拉乘积定理。
这个公式并不难理解:左边的Σ表示求和,即把全体自然数n的s次幂的倒数求和。右边的Π表示乘积,而数字p是质数。如果我们把它展开成更加好认的形式,就是:
这是多么美妙的式子!虽然自然数和质数都是无穷多个,但是全体的自然数和全体质数之间却有某种微妙的联系。
不仅如此, 欧拉通过对质数的研究,发现了一个近似的规律:小于一个数x的质数个数π(x)大约可以用一个函数计算出来:
lnx是一个对数函数。
欧拉研究出这个内容之后,就去做其他工作了。毕竟欧拉涉猎的内容太广泛。于是,这个内容的接力棒就传到了另外一位数学巨匠高斯手中。
素数定理在欧拉去世的时候,德国的数学巨匠高斯六岁。
他最出名的应该是在小学的时候计算1+2+3+4+…+100的故事,但是他的贡献远远不止与此。高斯在数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学等方面均有巨大贡献,以高斯的名字命名的定律有110个,他和阿基米德、牛顿、欧拉并称为四大数学家。
高斯小的时候,经常自己一个人研究数字。他经常随意的写出连续1000个数字,并找出中间的质数个数。他发现,开始的数字越大,这连续1000个数字中的质数越少。他用找出的质数个数除以1000,就得到了质数的“密度”。高斯发现这个密度大约可以用算式
计算。这个结果与欧拉得到的结果接近,但又不完全相同。
高斯得到这个结果后,并没有急于发表。因为高斯并不喜欢发表一些不成熟的结论,他向来要求自己的论文严格而优美。这样,这个机会就留给了法国数学家勒让德。
勒让德在1798年提出:小于x的质数个数可以用下面的计算得到:
其中的第一项积分式子称为Li(x),而c是一个误差项。质数也叫做素数,而且勒让德提出这个问题的时候,并没有严格证明,所以称为素数猜想。
勒让德提出素数猜想的荣誉保留了50年,然而在1849年,高斯在给他人的信中谈到:1792年他就已经提出了这个猜想。人们相信高斯,因为高斯经常这么干。
我们把素数猜想计算的结果Li(x),质数实际个数π(x),以及欧拉计算的x/lnx画在一张图中,就会发现Li(x)的结果更加接近实际的素数个数。
质数与黎曼猜想我们之前谈到:质数与黎曼猜想之间有着千丝万缕的联系。1896年,法国科学院举行比赛:征稿证明黎曼定理。两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑获得了这一殊荣。实际上这两位数学家并没有证明黎曼猜想,只是获得了一点进展,但是这一点进展就一举证明了欧拉和勒让德的猜想,把素数猜想变成了素数定理。黎曼猜想的威力可见一斑。
1901年,瑞典数学家科赫证明:如果黎曼猜想被证实,那么素数定理中的误差项c大约是√xln(x)的量级。
然而黎曼猜想到底是对是错?可能我们还需要等待许多年。即便黎曼猜想被证实,人们也只是在质数规律探索的过程中更近了一步,距离真正破解质数的规律,还有很长的路要走。也许质数就是宇宙留给人类的密码。
7. 黎曼猜想题目是什么?
黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想,由数学家波恩哈德·黎曼(1826--1866)于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题.其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出:黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值)的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti(“临界线”(critical line))上。t为一实数,而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。 猜想简介 黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ(s)的非平凡零点的实部都是0.5。 在黎曼猜想的研究中, 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。运用这一术语,黎曼猜想也可以表述为:黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
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1. 黎曼zeta函数,沉寂160年的数论难题掀起巨浪?
黎曼猜想是由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出的,是数论中的一个非常重要的命题。黎曼在一篇论文提出了一个素数分布规律的函数,但一直没有人能够证明它。100多年来,为了证明它,无数数学家呕心沥血,但都无法圆满达成。因此,黎曼猜想成为了“20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题”之一。也是著名的克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一,奖金高达100万美元。
图:迈克尔·阿蒂亚,数学界最高荣誉:菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主,于今年1月11日去世
最近一次尝试证明是迈克尔·阿蒂亚做出的。他在2018年9月声称证明了黎曼猜想,并在2018年9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲了这一成果。虽然新闻界一片欢呼,但看过预印本的数学家对他的成果却不以为然,有数学家声称,这个证明“甚至不能被称为一个错误”。所以,黎曼猜想依然还只是猜想。
看题主的介绍,有个叫梅晓春的人声称证伪了黎曼猜想。如果是真的,他获得菲尔兹奖没有一点问题,克雷数学研究所的一百万美元也是他的囊中之物。可惜的是,这只是一个“科妄”的表演而已。
笔者去搜索了一下,这个梅晓春是“福州原创物理研究所”的所长,这个研究所是一家民间机构。从这个研究所的名字可以看出来,这就是一个伪科学机构。物理学哪有“原创”的?都是站在前人基础上进行研究。即使是爱因斯坦的成果都是基于前人研究上的突破。没有人能够进行所谓的原创。事实上,这个人就是一个民科,或者说“科妄”更加准确一点。多个科学媒体都对他进行了批评。他所谓的论文发表的杂志也是一个不入流的刊物,属于那种给钱就发的垃圾杂志。
这种人,不要去理他!
2. 积的函数符号是什么?
在数学中,符号“∑”和“Π”分别用来表示求和与求积。
首先是函数的累积求和,n取[m, k]中的连续整数值。
∑n=mkf(n)=f(n)+f(n+1)+...+f(k)
∑n=mkf(n)=f(n)+f(n+1)+...+f(k)
这个变量n可以换成其他任意字母,比如x。我们把下面的“n=m”和上面的“k”称作这个和式的下标。在上下文明确的情况下,下标可以省略。
求和符号同样可以表示无穷级数。
∑i=1n=x1+x2+...+xn
∑i=1n=x1+x2+...+xn
∑n=1∞1n2=112+122+132+...+1n2=π26
∑n=1∞1n2=112+122+132+...+1n2=π26
求和与求积的用法是完全相同的。当下标不是连续整数时,下标也可以有不同的表达方式。
∏p∈Ap2p2−1=π26
∏p∈Ap2p2−1=π26
(A表示所有正素数构成的集合)
∑d|10,d∈N=1+2+5+10=18
∑d|10,d∈N=1+2+5+10=18
(“a|b”表示b能整除a,该和式表示所有10的正因子的和)
最后附上一些常见的求和公式。
∑i=1ni=n(n+1)2
∑i=1ni=n(n+1)2
∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6
∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6
∑i=1ni3=(n(n+1)2)2
∑i=1ni3=(n(n+1)2)2
∑i=1n(2i−1)=n2
∑i=1n(2i−1)=n2
∑i=0nxi=xn+1−1x−1
3. 世界上最难的函数题?
ζ(s)=1+1/2S+1/3S+1/4S+…被称为黎曼Zeta函数。黎曼猜想认为所有素数都可以表示为一个函数。
ζ(s)=0位于一条垂直直线上
这些是检查自前10000000000000(1×10^13)个解决方案的结果,证明它会带来许多围绕素数分布的奥秘。但这个问题至今未获得解
决。
4. n的四次方分之一求和?
我们需要知道要求哪个区间的 n 的四次方分之一的和。这里给两个常见的区间。
求 $n$ 的四次方分之一在 $1$ 到 $m$ 范围内的和,即:
$$\sum_{n=1}^m \sqrt[4]{n}$$
这个式子比较难直接求和,但是可以用积分近似计算。将 $n$ 的四次方分之一看做函数 $f(x) = x^{1/4}$,则有:
$$\int_0^m f(x) dx \leq \sum_{n=1}^m \sqrt[4]{n} \leq \int_1^{m+1} f(x) dx$$
即:
$$\frac{4}{5}(m^{5/4} - 1) \leq \sum_{n=1}^m \sqrt[4]{n} \leq \frac{4}{5}((m+1)^{5/4} - 1)$$
求 $n$ 的四次方分之一在 $m$ 到 $k$ 范围内的和,即:
$$\sum_{n=m}^k \sqrt[4]{n}$$
这个式子同样比较难直接求和,但是可以化简为一个积分。将 $n$ 的四次方分之一看做函数 $f(x) = x^{1/4}$,则有:
$$ \begin{aligned} \sum_{n=m}^k \sqrt[4]{n} &= \sum_{n=1}^k \sqrt[4]{n} - \sum_{n=1}^{m-1} \sqrt[4]{n} \ &= \int_0^k f(x) dx - \int_0^{m-1} f(x) dx \ &= \int_{m-1}^k f(x) dx \ &= \frac{4}{5}(k^{5/4} - (m-1)^{5/4}) \end{aligned} $$
其中,$m$ 和 $k$ 是正整数,且 $m \leq k$。
5. 祖籍山东菏泽的院士?
张继平,男,生于1958年7月,山东省菏泽市成武县人。北京大学数学科学学院教授、中国科学院院士。现任北京国际数学研究中心副主任、数学及其应用教育部重点实验室主任、北京数学会理事长。主要从事代数学研究。
在80年代早期对有限单群分类中心有突出贡献,且在世界上第一个给出了亏零P-块的充要条件。随后在当代模表示论的研究中作出多项重要贡献,对著名Puig猜想的研究为该理论的进一步发展开辟了道路,创立和系统发展了群的算术理论,进而解决了Huppert猜想和共轭类长猜想等长期未解决的难题,并在Zeta-函数和黎曼流形上的Laplace-Beltrami算子等研究领域得到应用。把代数K-理论应用到模表示论的研究中。2020年11月24日,当选“全国先进工作者”。
6. 质数是否存在规律?
质数是只有1和它本身两个约数的数字。比如5就是质数,因为5只有1和5两个约数,而4就不是质数,因为4的约数除了1和4,还有2,这样的数字称为合数。
数学中有一个专门的分支:数论,专门研究最简单的数字——自然数的性质。在数论中,质数是最引人入胜的风景, 有许许多多关于质数的猜想,例如以前介绍过的哥德巴赫猜想、费马数猜想等等,有些经过了数百年的时间才被人证明,有些直到现在还没有被证明。正因为质数如此迷人和复杂,目前人们还没有完全掌握质数的规律,所以人们才把质数作为密码学的基础。
那么,质数到底有多少个呢?它的分布有什么规律吗?人们对质数的研究已经有了哪些成果呢?
质数有多少个?我们很容易通过计算写出前几个质数,它们是:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…
那么,如果我们就这样写下去,能够把质数都写穷尽吗?如果质数可以穷尽,那么关于质数的许多猜想就变得容易了许多。遗憾的是,在古希腊时代,人们就已经认识到质数有无穷多个了,这要归功于数学家、几何学的创立者欧几里得。
欧几里得通过反证法证明了质数有无穷多个。所谓反证法,就是假设一个命题不成立,再通过演绎的方法推理出两个相互矛盾的结论,从而证明该命题。欧几里得的思路是:
假设质数的个数是有限个,分别是2、3、5、7、….、p,其中p是最大的质数,那么可以令数字q等于所有质数的乘积与1的和,即
这个数字q是质数还是合数呢?
(1)如果这个数字q是质数,那么q是一个比p大的质数,与p是最大的质数矛盾,所以q不是质数。
(2)如果这个数字q是合数,那么它必然有除了1和它本身以外其他的约数,或者说它可以进行质因数分解,也就是把它写作一堆质数的乘积:
这里的m都是质数,叫做q的质因子。由于所有的质数都被我们找到了,因此每一个m只能在2、3、5、7、…、p中取值。
可是,根据q的计算方法可知:
也就是说q-1是2、3、5、7、…、p这些质数的整数倍,q除以2、3、5、7、…、p中的任何一个数字都会有余数1,因此q不可能有任何一个质数因子,这与q是合数矛盾,q不可能是合数。
所以,q既不是质数也不是合数,二者发生了矛盾。矛盾的起源在于我们假设质数是有限个,所以质数不可能是有限个,质数有无穷多个,真是一个漂亮的证法!
如何寻找质数?虽然质数有无穷多个,但是人们依然希望知道如何快速判断一个数是质数还是合数。古希腊的埃拉托色尼(我们之前谈到过,就是那个测量出地球半径的人)给出了一种制作质数表的方法:筛选法。
他的思路是:要找到一个小于某自然数n的全部质数,只需要按照下面的方式:
1. 找到这个数字的平方根m=√m
2. 找到不大于m的所有质数。
3. 在一张自然数表上划掉所有质数的整数倍(质数本身不划掉)
4. 把1划掉。
5. 没有划掉的数字就是质数。
例如,我们要找到100以内的所有质数,只需要按照下面的步骤进行:
1. 计算100的平方根,是10。
2. 10以内的质数有2、3、5、7
3. 划掉2、3、5、7的整数倍。首先划掉2的倍数,如4、6、8…、98、100,然后划掉3的倍数,如6、9、12、15、…、99, 重复的就不需要再划掉了。然后划掉5的倍数,7的倍数。
4. 最后划掉1。
5. 表中余下的数字就是质数。
这个方法的依据是:如果一个数字是合数,那么它最小的质因子不会超过它的平方根。对于这个问题的证明我们依然可以使用反证法:如果所有质因子都大于它的平方根,两个质因子相乘就会比它大了。
质数分布有规律吗?人们虽然可以通过这种方法获得质数表,但是数字一旦大起来,判断是不是质数就非常困难,人们只能使用已知的质数因子一个个去除,去尝试。例如费马数
它有一个1187位的因子,还没有判断出来是不是质数。
长久以来,人们一直希望发现质数的分布规律,最好能通过一个公式算出质数,或者能通过前面的质数计算出后一个质数。
第一个获得突破的人是瑞士数学家欧拉。
欧拉在研究级数求和的问题中,得到了一个著名的公式:欧拉乘积定理。
这个公式并不难理解:左边的Σ表示求和,即把全体自然数n的s次幂的倒数求和。右边的Π表示乘积,而数字p是质数。如果我们把它展开成更加好认的形式,就是:
这是多么美妙的式子!虽然自然数和质数都是无穷多个,但是全体的自然数和全体质数之间却有某种微妙的联系。
不仅如此, 欧拉通过对质数的研究,发现了一个近似的规律:小于一个数x的质数个数π(x)大约可以用一个函数计算出来:
lnx是一个对数函数。
欧拉研究出这个内容之后,就去做其他工作了。毕竟欧拉涉猎的内容太广泛。于是,这个内容的接力棒就传到了另外一位数学巨匠高斯手中。
素数定理在欧拉去世的时候,德国的数学巨匠高斯六岁。
他最出名的应该是在小学的时候计算1+2+3+4+…+100的故事,但是他的贡献远远不止与此。高斯在数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学等方面均有巨大贡献,以高斯的名字命名的定律有110个,他和阿基米德、牛顿、欧拉并称为四大数学家。
高斯小的时候,经常自己一个人研究数字。他经常随意的写出连续1000个数字,并找出中间的质数个数。他发现,开始的数字越大,这连续1000个数字中的质数越少。他用找出的质数个数除以1000,就得到了质数的“密度”。高斯发现这个密度大约可以用算式
计算。这个结果与欧拉得到的结果接近,但又不完全相同。
高斯得到这个结果后,并没有急于发表。因为高斯并不喜欢发表一些不成熟的结论,他向来要求自己的论文严格而优美。这样,这个机会就留给了法国数学家勒让德。
勒让德在1798年提出:小于x的质数个数可以用下面的计算得到:
其中的第一项积分式子称为Li(x),而c是一个误差项。质数也叫做素数,而且勒让德提出这个问题的时候,并没有严格证明,所以称为素数猜想。
勒让德提出素数猜想的荣誉保留了50年,然而在1849年,高斯在给他人的信中谈到:1792年他就已经提出了这个猜想。人们相信高斯,因为高斯经常这么干。
我们把素数猜想计算的结果Li(x),质数实际个数π(x),以及欧拉计算的x/lnx画在一张图中,就会发现Li(x)的结果更加接近实际的素数个数。
质数与黎曼猜想我们之前谈到:质数与黎曼猜想之间有着千丝万缕的联系。1896年,法国科学院举行比赛:征稿证明黎曼定理。两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑获得了这一殊荣。实际上这两位数学家并没有证明黎曼猜想,只是获得了一点进展,但是这一点进展就一举证明了欧拉和勒让德的猜想,把素数猜想变成了素数定理。黎曼猜想的威力可见一斑。
1901年,瑞典数学家科赫证明:如果黎曼猜想被证实,那么素数定理中的误差项c大约是√xln(x)的量级。
然而黎曼猜想到底是对是错?可能我们还需要等待许多年。即便黎曼猜想被证实,人们也只是在质数规律探索的过程中更近了一步,距离真正破解质数的规律,还有很长的路要走。也许质数就是宇宙留给人类的密码。
7. 黎曼猜想题目是什么?
黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想,由数学家波恩哈德·黎曼(1826--1866)于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题.其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出:黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值)的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti(“临界线”(critical line))上。t为一实数,而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。 猜想简介 黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程ζ(s)的非平凡零点的实部都是0.5。 在黎曼猜想的研究中, 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。运用这一术语,黎曼猜想也可以表述为:黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言,方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。
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